Troikas

Hay algo misterioso en la existencia de los puntos notables del triángulo: baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro, así como en la comprobación de que tres elementos de un triángulo frecuentemente están relacionados. Además tres condiciones suelen bastar para determinar un triángulo.Tras estos aparentes misterios debe estar una propiedad del triángulo que los distingue de los demás polígonos: es rígido. Es decir un triángulo queda determinado por las longitudes de sus lados salvo su posición. No basta sin mbargo conocer sus 3 ángulos. Claro que sus valores no son independientes pues su suma es siempre de 180º. Eso si, su forma queda determinada, lo que no es poco. (1)

Teoremas de Ceva y Menelao

Un segmento AA' que une un vértice del triángulo se le llama ceviana (2). Al punto A' se le suele denominar traza de A.  En el triángulo central observamos 3 cevianas convergiendo en un punto cualquiera y en el de la izquierda las cevianas son alturas que convergen en el ortocentro.

Triángulo inscrito

En los siguientes apartados tomamos como vértices de ABC los puntos A = (a,b), B = (0,0), C = (1,0), triángulo que abreviadamente llamaré T0.

En el dibujo vemos un triángulo inscrito A'B'C'. Vamos a calcular los vértices y el área en función de las razones α, β, γ que determinan sobre los lados.
Dado un segmento PQ, sabemos por el cálculo vectorial que el punto R = P + es tal que =. En base a esto resulta que A' = (), B' = (), C' = ().

Según el dibujo anterior  α = ,  β = ,  γ = , cuyos valores son 1, 2 y 3

Aplicamos la fórmula del área de un triángulo en función de sus vértices (3) y obtenemos
                                     S' = ΔA'B'C' = =
y como S = ΔABC = , resulta que = que nos da el área del triángulo inscrito tomando como unidad el área del triángulo original y que depende solo de las proporciones en que A'B'C' divide a los lados.
Si α = β = γ = t obtenemos =

Si en esta fórmula y en la siguiente cambiamos α, β y γ por sus inversos simultaneamente, no se alteran, como era previsible.

Los cálculos anteriores podrían simplificarse más todavía, sin pérdida de generalidad, tomando como vértices los puntos  A = (1,0), B = (0,0), C = (0,0). El motivo es que cualquier triángulo es el transformado afín del triángulo anterior y las transformaciones afines conservan la alineación y las razones de distancias. Es decir dados 3 puntos alineados A, B, C y sus transformados A', B', C', estos también están alineados y se cumple que =  .

Teorema de Menelao

Los anteriores cálculos seguirían siendo válidos si alguna de las razones α, β, γ es negativa lo que implicaría que alguno de los puntos A', B', C' sería exterior y los segmentos determinados sobre un lado tendrían sentidos opuestos.
Admitiendo valores negativos de α,  β,  γ  observamos que S' = 0 implica la alineación de A', B', C' y esto sucede cuando el producto  α β γ = 0. O si se prefiere = -1.
A la anterior condición se le conoce como Teorema de Menelao (4)

Teorema de Routh (5)

Tracemos de nuevo las cevianas AA', BB' y CC' en un triángulo ABC. Estas tres cevianas se cortan en tres puntos A'', B'' y C''.

En las condiciones del dibujo 4 calcularemos el área del triángulo A''B''C'' , en función de las razones α, β, γ, que determinan los puntos A', B', y C' sobre sus lados.
Nos basta realizar este cálculo para el triángulo de vértices (0,1), (0,0) y (1,0) (3).
De nuevo vamos a obtener este resultado por cálculo directo. Cálculamos sus vértices  
A'' = BB'∩CC' = (), B'' = CC'∩AA' = () y C'' = AA'∩BB' = ().
tomando como unidad el área S =  ΔABC = , resulta que
                                = 2ΔA''B''C'' = =
Al resultado anterior se le llama teorema de Routh (5).

Por ejemplo para α = ,  β = 1,  γ = (dibujo), =
Si α = β = γ = t obtenemos = . Aplicándolo a t = 2 ( o ), resulta que =

Teorema de Ceva

Y como corolario del teorema de Routh podemos deducir el teorema de Ceva que se obtiene cuando S'' = 0 y eso sucede si y solo si  αβγ =  = 1.

Aplicaciones del Teorema de Ceva

En el dibujo 6 (izqa.) comprobamos fácilmente aplicando el teorema de Ceva como las medianas convergen en un punto, el baricentro.
En el de la derecha las cevianas unen un vértice con el punto de contacto de la circunferencia circunscrita con el lado opuesto. Los segmentos representados por
la misma letra son iguales al ser ambos tangentes desde el mismo punto. Si aplicamos el teorema de Ceva resulta que = 1. El punto de convergencia de estas cevianas
se llama punto de Gergonne.

En el siguiente dibujo los puntos A'',B'' y C'' son tales que =, siendo α= , y lo mismo en caso de los otros lados. El teorema de Ceva nos asegura que si las cevianas
AA', BB' y CC' con vergen en un punto P, también lo harán AA'', BB'' y CC'' en otro punto P' que llamamos transformado isotómico de P.

Notas

(1)  Palabra rusa que designaba un trineo tirado por tres caballos.
      En la antigua Unión Soviética acabó designando a un equipo político dirigente, formado por el presidente de la República, el jefe de Gobierno y el secretario general del Partido Comunista.

(2) En honor de Giovanni Ceva (Milán 1648 - Mantua 1734), matemático italiano.


(3) El área (con signo) de un triángulo de vértices P(a,b), Q(c,d) y R(e,f) viene dada por  Δ PQR = . Tomando su valor absoluto tenemos el área en sentido usual.
      
(4)  Este resultado referido a triángulos esféricos aparece en su obra Sphaerica publicada en  Alejandría hacia el 100 a.C.

(5)  El teorema de Ceva puede obtenerse como un caso particular de otro más general, el teorema de Routh. Dicho teorema fue publicado en 1891 por Edward John Routh en A treatise on Analitical Statics, with numerous examples. Hay demostraciones elementales, como por ejemplo la publicada en 1900 en la revista Gazeta Matemática por el matemático rumano Trajan Lalescu. Tambiés es posible un cálculo directo usando un triángulo adecuado y determinantes para obtener el área. Y mejor ayudándose de un programa de cálculo simbólico.