Teorema de Mamikon

Introducción

En 1959 y siendo estudiante de Física en la Universidad de Erevan en Armenia, por entonces perteneciente a la URSS, Mamikon A. Mnatsakanian descubrió "su" teorema. Los matemáticos a quienes mostró sus hallazgos se mostraron escépticos. No podían creer que problemas complejos pudieran resolverse de una forma tan intuitiva y sin recurrir al Cálculo. Finalmente publicó sus resultados en un artículo en 1981, que pasaron desapercibidos, tal vez por estar escrito en ruso y aparecer en una revista armenia de poca difusión (Procedings of the Armeny Academy of Sciences, vol.73, nº2, pags. 97-102).
Cuando en 1991 colapsa la Unión Soviética se encontraba casualmente en California trabajando en un programa de prevención de terremotos. Decide quedarse en EEUU donde finalmente contacta con el matemático Tom M. Apostol quien queda asombrado por sus intuiciones y deciden difundirlas.
El texto que se puede considerar una "traducción libre" de varios artículos de Apostol y el propio Mamikon que circulan hace algún tiempo por internet.
Y una aclaración sobre la tradución de dos conceptos básicos. Usé el término "superficie escoba" para traducir "tangent sweet" y "superficie racimo" para "tangent cluster". Puede haber alternativas mejores....

El teorema

Una idea sencilla

Vemos en la "Figura 1" que cuando un extremo del segmento tangente se mueve alrededor de la circunferenciainterior el otro genera la exterior y el segmento "barre" una corona circular.

La "Figura 2" nos demuestra que el área de la corona no depende de los radios de las circunferencias sino tan solo de la longitud del segmento tangente.

Es un resultado elemental pero que causa cierta sorpresa. O al menos se la causó a Mamikon A. Mnatsakanian, en fecha tan temprana como 1959, y cuando era un estudiante de la universidad de Erevan en Armenia (que formaba parte de la URSS). La gran idea de Mamikon fue extrapolar este resultado a otras curvas cerradas.

Un primer enunciado

Mamikon contempló el problema de forma dinámica y trasladó los segmentos tangentes paralelamente asi mismos hasta un origen común. Se genera un círculo o un sector si los segmentos no dieran una vueltacompleta. La corona de la izquierda y el círculo de la derecha tienen la misma área. En la figura siguiente vemos lo que ocurre con una elipse.

La tangente barre el anillo coloreado. Su área solo depende de la longitud L de la tangente. Y lo mismo sucede si la tangente se desliza a lo largo de un polígono convexo. Cuando el segmento se desliza a lo largo de un lado no cambia de dirección y no barre área alguna. Pero como rodea todo el polígono barre tantos sectores como vértices, que juntos completan una circunferencia, según se ve en el siguiente dibujo.

Pasamos a un primer enunciado del teorema de Mamikon:
Th1: Todos los anillos ovales barridos por un segmento de longitud L con un puntode contacto con una curva "suave", cerrada y plana tienen las mismas áreas independientemente del tamaño o forma de la curva interior y su valor es .
Para explicarlo podemos considerar toda curva convexa y cerrada como el límite de un polígono convexo.

Incidentalmente, este teorema nos proporciona una demostración del teorema de Pitágoras como se puede ver a partir de la "Figura 2".

Una generalización

Superficie escoba

La curva inferior del dibujo es una curva arbitraria más o menos suave. El conjunto de todos los segmentos tangentes, que, como en el dibujo, pueden tener longitud variable, define una región limitada por la curva interior (azul) y otra curva exterior (verde) trazada por el otro extremo del segmento tangente. La forma exacta de esta región dependerá de la curva interior y de la longitud de los segmentos tangentes. Llamaré a esta región "superficie escoba" y a la curva exterior, "curva escoba".

Superficie racimo

Cuando todos los segmentos son trasladados juntando en un mismo punto todos sus puntos de tangencia ymanteniendo su orientación inicial, obtenemos otra superficie que llamaré "superficie racimo". Si los segmentostienen la misma longitud, esta superficie será un sector circular. La curva que la limita la llamaré "curva racimo".

Un enunciado más general

Ahora enunciaré una versión más general del teorema de Mamikon:
Th2: Las áreas de las superficie escoba y racimo son iguales independientemente de la forma de la curva original.

Este teorema parece intuitivamente claro por ahora. Para convencernos consideremos diminutos triángulos trasladados de la superficie escoba a la racimo. Cuando siendo aun estudiante presentó sus intuiciones a algunos matemáticos estos lo rechazaron sin más con las palabras "no puede ser cierto, no pueden resolverse problemas de cálculo tan fácilmente". Continuó desarrollando su potente método geométrico y publicó sus resultados en un artículo en 1981, que pasaron desapercibidos, tal vez por estar escrito en ruso y aparecer en una revista armenia de poca difusión (Procedings of the Armeny Academy of Sciences, vol.73, nº2, pags. 97-102).

En la forma más general del teorema la curva no tiene porque ser plana, puede ser alabeada suave. La superficie escoba estará contenida en una curva desarrollable, es decir, que se puede extender en un plano sin arrugas. La forma de la superficie escoba dependerá de como las longitudes y direcciones de los segmentos tangentes cambian a lo largo de la curva.La superficie racimo se extiende sobre una superficie cónica cuyo vértice es el punto común. Este teorema sugerido por intuición geométrica puede probarse de forma tradicional, usando Geometría Diferencial, por ejemplo.

Aplicaciones

Veremos ahora como pueden resolverse algunos problemas sin recurrir al cálculo integral.

Tractriz y función exponencial

Tangente y subtagente

Llamamos segmento tangente relativo al punto P al que une P con el punto de intersección de la tangente por P con el eje X. La proyección de este segmento sobre el eje X se denomina subtangente.

Parece natural aplicar en teorema de Mamikon a las curvas que tienen constante la tangente  (tractriz) ola subtangente (exponencial). Y la siguiente propiedad de la superficie escoba incrementa la potencia del método:
Th3: Si cada segmento de una superficie escoba es alargado o contraído por el mismo factor positivo k, entonces el área de dicha superficie escoba se multiplica por .

Tractriz

Podemos definirla como la trayectoria de un juguete atado a una cuerda y arrastrado por un niño paseando a lo largo de un camino recto. Para calcular, usando Cálculo, el área de la región entre la curva y el eje X tendríamos que
hallar la ecuaciónde la curva, operación complicada que requiere resolver una ecuación diferencial. A continuación integraríamos para hallar el área. Pero resulta que la región entre le curva y el eje X es barrida por los segmentos tangentes a la curva que se apoyan en el eje. Como todos tienen la misma longitud L, su superficie racimo es  un cuadrante de círculo de radio L. Aplicando el teorema de Mamikon el área de la superficie buscada es .

Función exponencial

Consideremos la función exponencial y = . Vamos a calcular el área bajo curva entre los límites -∞ y t. En notación clásica queremos calcular .

Su valor es a y lo vamos a obtener prescindiendo de la integración, usando el teorema de Mamikon. Para elloaplicamos el hecho de que en la función exponencial las subtangentes tienen el valor constante a para todo valor de x. Propiedad que, de hecho, sirve para definir esta función.

Observemos ahora el siguiente dibujo. Si trasladamos los extremos de las tangentes situadas en el eje X, al piede la primera tangente, estas barrerían el triángulo azul.

Según el teorema de Mamikon, a partir de la "Figura 14" la superficie escoba a la izquierda coincide con la superficie racimo, a la derecha. El área buscada es por tanto el doble de la del triángulo de base a (subtangente) y altura , es decir  a .

Cicloide

Recordemos que la cicloide es la curva trazada por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizamiento a lo largo de una línea horizontal.

Vamos a demostrar que el área comprendida entre un arco de cicloide y la línea horizontal es 3 veces el áreadel círculo que rueda.

El rectángulo que enmarca la cicloide tiene como área π es decir 4 veces el área de este círculo. Así que bastaría demostrar que la región amarilla encima de la cicloide tiene la misma área que el círculo amarillo.

Al rodar el círculo, la cuerda XP, que es tangente a la cicloide, barre la región comprendida entre la ciloide y la línea y = 2d (en amarillo en la "Figura 17"), que constituye la superficie escoba.

Si ahora trasladamos estas cuedas a un origen común manteniendo su orientación vemos que la superficie racimo que se genera es precisamente el círculo rodante. El teorema de Mamikon nos garantiza la igualdad de ambas superficies. El siguiente dibujo es bastante claro.

Podemos añadir que la figura 18 nos sugiere un método elemental para trazar tangentes a la cicloide por un punto de la misma.

Funciones

Mamikon también aplica su método al segmento parabólico, comentando que es más simple y general queel método que utilizó Arquímides. Ciertamente es más general puesto que se puede extender a todas lasfunciones de la forma y = . En cuanto a sencillez lo menos que puede decirse es que es sutil y, a diferenciade los anteriores ejemplos, la ecuación de curva juega un papel importante. No se puede olvidar que Arquímides no disponía de notación algebraica...

Como se aprecia en la "Figura 20" la superficie rayada está dividida en dos partes iguales por la gráfica de la función y = . La estrategia a seguir es demostrar que esas dos  regiones tienen la misma área que el segmento parabólico se obtiene el resultado conocido de que su área es , es decir, un tercio del rectángulo.

El motivo de la igualdad se observa en el siguiente dibujo. La región rayada de la derecha está generada por una tangente que se desplaza por la curva y = y se apoya en el eje X. Es lo que denominé una superficie escoba. Su superficie racimo es la región rayada de la izquierda. Veamos porqué.

El motivo de la igualdad se observa en el siguiente dibujo. La región rayada de la derecha está generada por una tangente que se desplaza por la curva y = y se apoya en el eje X. Genera la superficie escoba. Su superficieracimo es la región rayada de la izquierda. Veamos porqué. Todo punto de la parábola y = es de la forma (t,) y la tangente corta el eje X en (, 0). Si trasladamoseste extremo al origen y mantenemos la orientación del segmento tangente su otro extremo va al punto (, ) que pertenece a la parábola y = . El teorema de Mamikon garantiza la igualdad de ambas regiones rayadas. Y ahora es inmediato deducir la igualdad del segmento parabólico con la región comprendida entre la curva y = y el eje Y.

En la siguiente aplicamos un razonamiento análogo para calcular el área bajo la curva y = . Es fácil ahora extrapolar es razonamiento para y = con n entero positivo.

Pero existe una manera más inmediata para calcular estas áreas usando el Th3. Lo aplicaré como ejemplo al segmento parabólico.

La parte de la superficie escoba por debajo del eje X es 3 veces de la que está por encima, de lo que se deduce que su área total es de la del rectángulo.

Cardioide

Queremos ahora calcular la superficie encerrada por la cardioide, curva cerrada que se genera tal como muestra la siguiente figura

Esa superficie equivale a la unión de la parte roja y la amarilla de la figura 25. El círculo amarillo equivale a 4 círculos como el que genera la curva al rodar. Demostraremos que cada lóbulo rojo tiene una superficie igual a uno de estos círculos.

Cada lóbulo es una superficie escoba cuya superficie racimo es el círculo menor. El teorema de Mamikon asegura la igualdad de ambas. Concluímos que la cardioide tiene una superficie igual a 6 veces el área del círculo rodante.