Las elipses de Steiner

Planteamiento del problema

Dado un triángulo, llamaré in-elipses a las inscritas y ex-elipses a las circunscritas. Se conocen como elipses de Steiner a la inscrita de mayor área y a la circunscrita de menor, respectivamente. Veremos como obtenerlas y algunas de sus propiedades. Procederé en varias etapas.

Triángulos óptimos

I.  El triángulo de mayor área inscrito en un círculo es el equilátero.

El dibujo anterior deja claro que, dado un lado AB del triángulo inscrito, el triángulo isósceles ABP es el de mayor área (mayor altura) de todos aquellos con un lado igual a AB. Y deducimos que mientras halla dos lados desiguales en un triángulo siempre podemos construir otro de área mayor. Así pues, el triángulo buscado será el que no tenga lados desiguales, es decir, el equilátero.

II.  El triángulo de menor área circunscrito a un círculo es el equilátero. Seguiremos un razonamiento indirecto semejante al anterior.

Dado un triángulo circunscrito ABC con lados AB y AC desiguales, según vemos en el dibujo, un triángulo isósceles APQ de menor área. Y esto sucederá siempre que haya dos lados desiguales. Así pues, concluímos que el equilátero es el de menor área.

Transformación afín

III.  Toda transformación afín deja invariantes las razones entre longitudes y áreas. Es decir si AB y CD son dos segmentos que se transforman en A'B' y C'D', si =α, resulta que se verifica =α. Y lo mismo sucede para razones entre áreas.

IV.  Si Δ, χ, Γ representan las áreas del triángulo, círculo inscrito y círculo circunscrito, respectivamente, las razones   y alcanzan sus valores óptimos cuando el triángulo es equilátero, según I y II. Ademas según III una transformación afín no altera esta circunstancia. Deducimos por tanto que para un triángulo equilátero sus elipses de Steiner son las circunferencias inscrita y circunscrita.

Transformación afín de un triángulo

V.  Todo triángulo puede obtenerse como el transformado afín de un triángulo equilátero y viceversa.

Siempre existe una transformación afín que transforma un triángulo en otro. Nos limitaremos a triángulos "tipo T0" , es decir de vértices (0,0), (1,0) y (a,b) y no será dificil de obtener. Si queremos transformar un triángulo T0[(a,b)] en otro T0[(c,d)] podemos proceder de la siguiente forma:  T0[(a,b)] → T0[(0,1)] → T0[(c,d)]. La matriz asociada de esta transformación es:   

Las transformaciones afines conservan las tangencias y los puntos de corte. También conservan las homotecias en el siguiente sentido. Si A y B son homotéticos, también lo son sus transformados A' y B' con la misma razón de homotecia. Así todas aquellas propiedades que se conservan en las transformaciones afines es suficiente demostrarlas en triángulos equiláteros. O en cuaquier otro que se considere adecuado. El transformado del baricentro sigue siéndolo en el nuevo triángulo, por eso de que las afinidades conservan la razón entre distancias.

VI.  Dado un triángulo T, si queremos obtener sus elipses de Steiner, podemos proceder de la siguiente manera. Tomamos un triángulo equilátero de referencia, por ejemplo el de vértices (0,0),(1,0) y (,). Sabemos que existe una transformación afín Φ tal que Φ()=T. Si y son las circunferencias inscrita y circunscrita de entonces Φ()=α y Φ()=β son respectivamente las in-elipse y ex-elipse de Steiner de T.

Ecuaciones

VII.  En el apartado V hemos calculado la matriz que transforma triángulos T0. En particular la que transforma el triágulo T0 (,)=0 en otro cualquiera T0(a,b) es  . Aplicada a las elipses de Steiner de 0 se obtienen las de cualquier T0. Estas elipses son las circunferencias inscrita y circunscrita. Sus ecuaciones son: la circunscrita y   la inscrita. Las ecuaciones de las in-elipse y ex-elipse par cualquier triángulo T0 son, respectivamente    = 0    = 0

Relación entre ambas elipses

VIII.  El siguiente dibujo describe la transformación y nos permite hacer alguna deducción.

La 2ª figura deriva de la 1ª y por una transformación afín y sugiere que las dos elipses de Steiner son homotéticas de razón 2. Está claro que la razón de homotecia es la razón entre los radios. Por el mismo motivo también es facil obtener las áreas a partir del área triángulo. Si su área es Δ, las áreas de las elipses son Δ  y  Δ.

IX.  El centro de ambas cónicas es el baricentro del triángulo como se puede calcular por cálculo directo a partir de sus ecuaciones.

Conocido el centro y tres de sus puntos estamos en condiciones de obtener gráfica y analíticamente otros elementos de la elipse.

Y del hecho de que la ex-elipse de Steiner es la transformada afín de una circunferencia circunscrita deducimos que la tangente trazada a esta elipse por un vértice es paralela al lado opuesto.

Familias de cónicas

X. Las elipses de Steiner forman parte de sendas familias de cónicas asociadas a  un triángulo mucho más amplias. La in-elipse es una cónica tritangente y la ex-elipse trisecante.

XI. Como consecuencia del teorema de Brianchon en toda cónica tritangente las cevianas que unen cada punto de tangencia con su vértice opuesto concurren en un punto. Y reciprocamente, para un triángulo dado, a cada punto del plano P le corresponde una cónica tritangente,de modo que las cevianas que unen cada punto de tangencia con el vértice opuesto convergen en P. Si el punto es el baricentro, la cónica es la in-elipse de Steiner.

XII.  Como consecuencia del teorema de Pascal toda cónica trisecante cumple la siguiente propiedad dual de la cónica tritangente. Las tangentes trazadas por los tres vértices cortan a sus respectivos lados opuestos en 3 puntos que están alineados. Así pues a cada recta del plano le podríamos asociar una ex-cónica. La de la recta del ∞ es la de Steiner.

Una propiedad de la ex-elipse de Steiner

XIII.  Según vimos en el apartado XI a cada punto del plano corresponde una cónica tritangente. Podemos plantearnos que tipo de cónica es según la posición del punto. Está claro que si el punto es interior al triángulo, la cónica es una elipse. Si es exterior hay otras posibilidades. Primero determinamos la posición del punto para obtener una parábola.

XIV.  La ecuación implícita de las cónicas tritangentes para triángulos T0(a,b) y para un punto P(p,q) es  

Si calculamos su invariante afín y y lo igualamos a 0 resoviendo la ecuación para q, obtenemos como valor que no degenera la cónica , que se puede tomar como la ecuación del lugar geométrico buscado. Operando y cambiando p por x y q por y obtenemos, sorprendentemente, la ex-elipse de Steiner:    .

XV.  Conjeturo que los puntos exteriores a esta elipse generan hipérbolas y los interiores elipses. Imagino que debe haber una propiedad dual relativa a la in-elipse de Steiner, pero no se cual. Tal vez las rectas tangentes a un punto de la in-elipse estén asociadas a una parábola trisecante del triángulo.