Cuestiones parabólicas

Codemos considerar la parábola como la curva más sencilla después de la circunferencia. Planteo una serie de problemas acerca de propiedades de la misma que podrían considerarse básica y que en su mayor parte no exceden el nivel de bachillerato.
Parte de los cálculos requeridos así como los dibujos los he realizado  con un programa de "cálculo simbólico".

Preguntas

1.   Todas las parábolas tienen la misma forma. ¿Podríamos encontrar una homotecia que nos tansforme cualquier parábola y = a en la parábola y = ?
2.   A partir de la parábola y = a+ bx + c, estudiar lo que le sucede a la gráfica al variar los coeficientes a, b y c.
3.   Deducir la ecuación de la parábola a partir de la definición clásica como lugar geométrico.
4.   Conocidos el foco y la directriz, dibujar puntos de la parábola.
5.   Dado el dibujo de una parábola obtener gráficamente el vértice, eje, foco y directriz de la misma. Dar una justificación analítica de las anteriores construcciones.
6.   Ecuación general de la tangente por un punto de la misma. Método gráfico para dibujarla.
7.   Demostrar la siguiente conocida propiedad: los rayos que inciden sobre la parábola paralelamente al eje convergen en el foco.
8.   Dado un triángulo ABC, tracemos una parábola tangente y sean P, Q, R los puntos de tangencia. Probar que el área del triángulo PQR es independiente de la parábola en cuestión y encontrar la relación entre las áreas de ambos triángulos.
9.   Demostrar que los focos de las parábolas anteriores se encuentran sobre la circunferencia circunscrita del triángulo ABC.
10. Consideremos las parábolas de la forma y = + px + qx que cortan a los ejes en tres puntos diferentes, por los que trazamos una circunferencia. demostrar que todas las circunferencias trazadas al variar p y q pasan por un punto fijo y calcular este punto.

Respuestas

P1. Homotecias

Esta propiedad la comparte con las circunferencias y las hipérbolas equiláteras (y con cualquier familia de cónicas que tengan todas la misma excentricidad).
Para comprobarlo hacemos coincidir el eje de la parábola con el eje OY y el vértice con O. Sus ecuaciones serán y =a . Si le aplicamos una homotecia de centro O y razón a se transforma en la parábola y = . Para ello podemos usar las ecuaciones paramétricas  x = t, y =a, que nos indica que los puntos son de la forma (t, a). La homotecia anterior los transforma en (at, ) que pertenece a  y = .

En el dibujo 1 una homotecia de centro el vértice y razón transforma la parábola   en  . Dicha transformación afecta de la misma manera al foco y a la directriz.

P2. El misterio de "b"

La forma depende de a según vimos en el apartado 1. Es fácil ver que la variación de c desplaza verticalmente le gráfica, pero es menos previsible la influencia de b.
Sabemos que las coordenadas del vértice son (,), que se puede considerar la ecuación paramétrica de la trayectoria.
Si eliminamos el parámetro obtenemos y = - + c, es decir describe una parábola invertida respecto a aquella con b = 0.

P3. Lugar geométrico

El lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (0, ), foco, y la recta y = -, directriz, es la curva  y = . La distacia p = entre ambos se llama parámetro.
En general si tomamos como foco (,0) y directriz y = , la definición anterior nos lleva a la ecuación 2py = La parábola y = a tiene como parámetro p =

P4. Puntos

El siguiente dibujo es concluyente.

F es el foco, D el punto del eje por donde pasa la directriz y A un punto del eje. La perpendicular al eje por A y la circunferencia de centro F y radio AD se cortan en un punto P (o mejor en dos puntos) de la parábola. Esto es así porque la distancia FP es igual a la longitud de AD que es precisamente la distancia de P a la directriz.

P5. Elementos

Se trata de encontrar un método gráfico elemental para obtener esos elementos de la parábola y justificarlo analíticamente.
Comenzamos calculando el eje y para ello aplicamos la siguiente propiedad : los puntos medios de cuerdas paralelas están sobre una recta paralela al eje.

Veamos una demostraccion analítica de esta propiedad para la parábola  y = . La intersecamos con una recta y = mx + c. los puntos de corte tienen abscisas x = . La abscisa de su punto medio es por tanto . Por tanto está situada en la misma vertical, x =  , paralela al eje.

La paralela a esa dirección por el punto medio de cuaquier cuerda perpendicular nos da el eje. Y la intersección con la curva, el vértice.  

Pasamos ahora a calcular el foco y usaremos una homotecia y la construcción del apartado 4.
Sobre el eje tomamos un punto cualquiera F' como foco de otra parábola homotética y su correspondiente directriz o mejor el punto en que esta corta al eje. Con estos datos construímos un punto de la nueva parábola P' (ver P4).

La recta P'V corta a nuestra parábola en P. Trazamos la paralela a P'F' por el punto P.
La intersección con el eje nos da el foco F buscado. Es inmediato dibujar la directriz.

P6. Tangente

Sabemos por el cálculo que para un punto cualquiera (t,) de la parábola la tangente tiene pendiente 2at y su ecuación es y = 2atx -a.
Podemos obtener la pendiente si recurrir a la derivada intersecando la parábola con una recta de pendiente m por ese punto e imponiéndole la condición de que los dos puntos de corte coincidan.

La tangente  y = 2atx -a, corta al eje Y (eje de la parábola) en el punto (0,) lo que sugiere una construcción elemental.

Calculamos Q proyección de P sobre el eje y a continuación dibujamos su simétrico R respecto al vértice. PR es la tangente buscada.
En el siguiente apartado veremos otro método elemental.

P7. Propiedad óptica

Sean P un punto de la parábola de foco F y directriz d y la recta t mediatriz del segmento PP'. Resulta que t no contiene ningún otro punto de la parábola así pues es la tangente por P. Si contuviera otro punto Q ocurriría que QP' sería la distancia de Q a la directriz, es decir perpendicular a la misma, lo que no es posible.
Y del hecho de ser t mediatriz se deduce la igualdad de todos los ángulos α. Lo que a su vez demuestra la proiedad "óptica" citada.

P8 y P9. Triángulo inscrito

Todas las parábolas son semejantes a la parábola de ecuación y = , así que dado un triángulo cualquiera y una parábola tangente siempre podemos escoger un sistema de referencia de forma que dicha parábola tenga por ecuación y = .

Tomemos 3 puntos de esa parábola : P = (), Q = (), R = (). Las ecuaciones de las tangentes por esos puntos son respectivamente , .
Estas tangentes se cortan en otros 3 puntos A = P∩Q, B = Q∩R, C = R∩P, de coordenadas A = (), B = (), C = ()

P8.  Siempre se cumple que el área del triángulo PQR es doble que la del triángulo ABC.
     El área del triángulo ABC es la mitad del valor absoluto del determinante de la matriz     . Resulta que ΔABC = .     Y análogamente, ΔPQR es la mitad del valor absoluto del determinante de .
   Tenemos ΔPQR = .    Dividiendo ambos números   = 2
   

P9.  Calculamos la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y comprobamos que el foco F = de la parábola y = la satisface.
       La ecuación de dicha circunferencia es       = 0
      La comprobación de que F la satisface es inmediata.

P10. Punto fijo

Es posible dar una demostración analítica relativamente sencilla. Esta otra usando la inversión es más elegante.
Llamemos a y b a las abscisas de los puntos de corte de la parábola y = + px + qx con el eje X. Dicha ecuación puede expresarse como y = (x-a)(x-b) que corta al eje Y en (0,ab).
La inversión de centro (0,0) y centro invierte (a,0) en (b,0) y (0,ab) en (0,1).
Por tanto esos 4 puntos son concíclicos y todas las circunferencias que pasen por los 3 puntos de corte de cualquiera de las anteriores parábolas pasa también por (0,1).